Premiers chiffres significatifs et nombres algébriques

Ilan Vardi

IHES

Algorithms Seminar

December 10, 1998

[summary by M.-J. Bertin]

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Abstract
Let a and b , 1£ a <b and define log b (a)=log a /log b . Denote by {z} the fractional part of z i.e. {z}=z-ë zû . The main result is the analytic continuation in C of the L-series L(s,a,b)=ån³ 1{log b n/a }1/ns if and only if b is a Pisot number, a belonging to the number field generated by b and the second largest conjugate of b being real or the corresponding conjugate of a being positive.



1   Introduction

La motivation de ce travail est la ``loi'' probabiliste de Benford, disant que les entiers rationnels n satisfaisant
b h£ n<a b h
pour a et b vérifiant 1£ a <b , apparaissent parmi les entiers rationnels avec une probabilité log b (a)=log a /log b . En réalité, cette ``loi'' est fausse car log 10n n'est pas une suite équirépartie modulo 1.

Cependant, la loi est vraie en moyenne harmonique d'après le théorème de Duncan prouvant que
*
å
n<x
1
n
 
å
n<x
1
n
 
®
x® ¥
log
 
b
(a),
la sommation å* étant faite sur les entiers n satisfaisant les inégalités
b h£ n<a b h.

2   Les résultats

D'après un résultat de Diaconis, la limite précédente est équivalente à la formule
 
lim
s® 1+
(s-1)z
 
a,b
(s)=log
 
b
(a),
où
z
 
a,b
(s)=
*
å
n³ 1
1
ns
.
Par ailleurs, z a,b (s) peut s'écrire
z
 
a,b
(s)=L(s,a,b)-L(s,1,b)+z (s)log
 
b
(a),
où
L(s,a,b)=
 
å
n³ 1
{log
 
b
n
a
}
1
ns
et z (s) désigne la fonction dzêta de Riemann.

Il est naturel de s'intéresser au prolongement analytique dans C des séries L(s,a,b) et z a,b (s). En effet, en 1997, Kuba a montré le lien entre la série L(s,a ,b) et le nombre de points d'un réseau situés sous une courbe logarithmique. Auparavant, Hecke avait montré que la fonction ån³ 1{q n}n-s possède un prolongement analytique à C si q est un irrationnel quadratique. De même, Hardy et Littlewood ont montré que le prolongement admet une frontière naturelle si q admet une bonne approximation par des rationnels.

Avant de présenter les résultats d'I. Vardi, rappelons qu'un nombre de Pisot (resp. Salem) est un entier algébrique supérieur à 1 dont tous les autres conjugués ont un module strictement inférieur à 1 (resp. inférieur ou égal à 1 avec au moins un conjugué de module 1).

Theoreme 1   La fonction L(s,a,b) admet un prolongement analytique dans le demi-plan s =Â s>0. Ou bien la droite s =0 est une frontière naturelle pour la fonction L ou bien la fonction L est méromorphe dans C.

Si L est méromorphe dans C, alors b est un nombre de Pisot ou de Salem et a Î Q(b).

En outre, si a Î Z[1/b ]/f' (b), où f désigne le polynôme minimal de b , le prolongement analytique dans C est équivalent au fait que le deuxième plus petit conjugué de b soit réel (par suite b est un nombre de Pisot).

Si a Ï Z[1/b ]/f' (b) et si b est un nombre de Pisot, l'existence du prolongement analytique dans C est équivalente à l'existence d'un entier m ne divisant pas la trace de ma b k pour k assez grand. Si b est un nombre de Salem, il n'y a pas équivalence, cette dernière condition étant seulement nécessaire.

Corollaire 1   La fonction z a,b (s) admet un prolongement méromorphe dans s =Â s>0 et ou bien la droite s =0 est une frontière naturelle ou bien le prolongement est méromorphe dans tout le plan.

L'existence d'un prolongement méromorphe est équivalente au fait que b soit un nombre de Pisot, a appartenant au corps de nombres engendré par b et ou bien le deuxième plus grand conjugué de b est réel ou bien a Î Z[1/b ]/f' (b) et le conjugué de a correspondant au deuxième plus grand conjugué de b est positif.
Proposition 1   Pour tout nombre de Pisot ou de Salem b , il existe une infinité de a appartenant au corps de nombres engendré par b tels que L(s,a,b) possède un prolongement analytique dans C.

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