Premiers chiffres significatifs et nombres alg�briques

Ilan Vardi

IHES

Algorithms Seminar

December 10, 1998

[summary by M.-J. Bertin]

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Abstract
Let a and b , 1� a <b and define log b (a)=log a /log b . Denote by {z} the fractional part of z i.e. {z}=z-� z� . The main result is the analytic continuation in C of the L-series L(s,a,b)=�n� 1{log b n/a }1/ns if and only if b is a Pisot number, a belonging to the number field generated by b and the second largest conjugate of b being real or the corresponding conjugate of a being positive.



1   Introduction

La motivation de ce travail est la ``loi'' probabiliste de Benford, disant que les entiers rationnels n satisfaisant
b h� n<a b h
pour a et b v�rifiant 1� a <b , apparaissent parmi les entiers rationnels avec une probabilit� log b (a)=log a /log b . En r�alit�, cette ``loi'' est fausse car log 10n n'est pas une suite �quir�partie modulo 1.

Cependant, la loi est vraie en moyenne harmonique d'apr�s le th�or�me de Duncan prouvant que
*
�
n<x
1
n
 
�
n<x
1
n
 
�
x� �
log
 
b
(a),
la sommation �* �tant faite sur les entiers n satisfaisant les in�galit�s
b h� n<a b h.

2   Les r�sultats

D'apr�s un r�sultat de Diaconis, la limite pr�c�dente est �quivalente � la formule
 
lim
s� 1+
(s-1)z
 
a,b
(s)=log
 
b
(a),
o�
z
 
a,b
(s)=
*
�
n� 1
1
ns
.
Par ailleurs, z a,b (s) peut s'�crire
z
 
a,b
(s)=L(s,a,b)-L(s,1,b)+z (s)log
 
b
(a),
o�
L(s,a,b)=
 
�
n� 1
{log
 
b
n
a
}
1
ns
et z (s) d�signe la fonction dz�ta de Riemann.

Il est naturel de s'int�resser au prolongement analytique dans C des s�ries L(s,a,b) et z a,b (s). En effet, en 1997, Kuba a montr� le lien entre la s�rie L(s,a ,b) et le nombre de points d'un r�seau situ�s sous une courbe logarithmique. Auparavant, Hecke avait montr� que la fonction �n� 1{q n}n-s poss�de un prolongement analytique � C si q est un irrationnel quadratique. De m�me, Hardy et Littlewood ont montr� que le prolongement admet une fronti�re naturelle si q admet une bonne approximation par des rationnels.

Avant de pr�senter les r�sultats d'I. Vardi, rappelons qu'un nombre de Pisot (resp. Salem) est un entier alg�brique sup�rieur � 1 dont tous les autres conjugu�s ont un module strictement inf�rieur � 1 (resp. inf�rieur ou �gal � 1 avec au moins un conjugu� de module 1).

Theoreme 1   La fonction L(s,a,b) admet un prolongement analytique dans le demi-plan s =� s>0. Ou bien la droite s =0 est une fronti�re naturelle pour la fonction L ou bien la fonction L est m�romorphe dans C.

Si L est m�romorphe dans C, alors b est un nombre de Pisot ou de Salem et a � Q(b).

En outre, si a � Z[1/b ]/f' (b), o� f d�signe le polyn�me minimal de b , le prolongement analytique dans C est �quivalent au fait que le deuxi�me plus petit conjugu� de b soit r�el (par suite b est un nombre de Pisot).

Si a � Z[1/b ]/f' (b) et si b est un nombre de Pisot, l'existence du prolongement analytique dans C est �quivalente � l'existence d'un entier m ne divisant pas la trace de ma b k pour k assez grand. Si b est un nombre de Salem, il n'y a pas �quivalence, cette derni�re condition �tant seulement n�cessaire.

Corollaire 1   La fonction z a,b (s) admet un prolongement m�romorphe dans s =� s>0 et ou bien la droite s =0 est une fronti�re naturelle ou bien le prolongement est m�romorphe dans tout le plan.

L'existence d'un prolongement m�romorphe est �quivalente au fait que b soit un nombre de Pisot, a appartenant au corps de nombres engendr� par b et ou bien le deuxi�me plus grand conjugu� de b est r�el ou bien a � Z[1/b ]/f' (b) et le conjugu� de a correspondant au deuxi�me plus grand conjugu� de b est positif.
Proposition 1   Pour tout nombre de Pisot ou de Salem b , il existe une infinit� de a appartenant au corps de nombres engendr� par b tels que L(s,a,b) poss�de un prolongement analytique dans C.

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