Détendez-vous, mais ne soyez pas trop paresseux...

Cet expos\'e concerne l'\'evaluation rapide de coefficients d'une s\'erie formelle. Classiquement, on distingue l'approche paresseuse (pour une op\'eration comme la multiplication de $f$ et $g$, ceci revient \`a supposer que l'on conna\^\i t les $n$ premiers coefficients de $f$ et de $g$ et que l'on vise le calcul des $n$ premiers coefficients de $fg$) et l'approche d\'etendue (on calcule les coefficients un par un et on ne fait que les calculs n\'ecessaires \`a chaque \'etape. Dans ce cas, le $i$\`eme coefficient de $fg$ sera connu d\`es que les $i$ premiers coefficients de $f$ et $g$ seront connus). Je rappellerai les r\'esultats classiques de complexit\'e pour ces approches. Ensuite, j'exposerai une nouvelle approche, dite d\'etendue, qui donne les meilleurs bornes de complexit\'e actuelles pour un grand nombre de probl\`emes comme la r\'esolution d'\'equations fonctionnelles ou aux d\'eriv\'ees partielles. Je parlerai \'egalement d'une implantation provisoire qui confirme ces r\'esultats th\'eoriques, mais qui pourrait encore \^etre grandement am\'elior\'ee \ldots