Cartes planaires et sch\'emas de composition

Cet expos\'e sera consacr\'e \`a la pr\'esentation de la th\'eorie \'enum\'erative des cartes planaires, suivant l'approche originale de Tutte. On sait depuis peu donner des preuves combinatoires de beaucoup des jolies formules de Tutte pour compter les cartes planaires (cf. expos\'e de l'an dernier). Cependant dans les cas ``moins jolis'', on en revient toujours aux d\'ecompositions et aux s\'eries g\'en\'eratrices, c'est-\`a-dire que sur ce point, les meilleurs outils sont encore ceux introduits par Tutte et Brown dans les ann\'ees soixantes. Les d\'ecompositions par ``supression/contraction'' d'ar\^etes se traduisent en \'equations aux d\'eriv\'ees discr\`etes bivari\'ees quadratiques, qu'on transforme en \'equations alg\'ebriques par une (assez miraculeuse) ``m\'ethode quadratique''. Les d\'ecompositions par ``composition'' de cartes se traduisent en sch\'emas de composition. Du point de vue de l'analyse de singularit\'e, ces sch\'emas se trouvent \^etre tous du m\^eme type~: la composition critique de deux singularit\'es en $(\rho-x)^{3/2}$. Le but de cet expos\'e est en particulier de montrer un peu d'o\`u sortent les sch\'emas de composition et l'algorithme de g\'en\'eration al\'eatoire dont Cyril Banderier nous parlera l'apr\`es-midi.