Combinatoire des polynômes harmoniques

L'espace des polynômes totalement harmoniques (pour le groupe symétrique) en $n$ variables est ``classiquement'' défini comme l'ensemble des solutions $y(x)$ du système d'équations aux dérivées partielles : $$\sum_{i=1}^n \partial_{x_i}^k y(x)=0,\qquad 1\leq k\leq n.$$ Nous en rappelons la description explicite avant d'introduire la notion de polynôme diagonalement harmonique. Comme nous le verrons, ceci donne lieu à de nombreux problèmes combinatoires.