Ilan Vardi, Occidental College, Los Angeles, CA & Inria Rocquencourt

Chiffres de t\^ete et nombres alg\'ebriques

Je consid\`ere des s\'eries de Dirichlet, telles que $$ {1 \over 1^s} + {1\over 10^s} +{1\over 11^s} + \cdots\, +{1\over 19^s}+ {1\over 100^s} +\cdots\,, $$ o\`u la somme porte sur les entiers $n$ dont le chiffre de t\^ete en base $\beta$ est inf\'erieur ou \'egal \`a $\alpha$. Je d\'emontre que ces s\'eries ont un prolongement au plan entier si et seulement si $\beta$ est un nombre de Pisot, le nombre $\alpha$ est dans le corps ${\bf Q}(\beta)$ et (essentiellement) le deuxi\`eme conjugu\'e de $\beta$ est r\'eel. Je donne aussi une classe de nombres de Pisot dont le deuxi\`eme conjugu\'e est r\'eel.