Analyse en moyenne d'une classe d'algorithmes d'Euclide

Nous d\'ecrivons le comportement ``en moyenne" de neuf algorithmes d\'eriv\'es de l'algorithme d'Euclide. Certains d'entre eux sont utilis\'es pour calculer le symbole de Jacobi. Nous montrons que ces algorithmes se r\'epartissent en deux classes, les rapides et les lents. Nous proposons une m\'ethode g\'en\'erale, qui voit un algorithme et l'ensemble de ses donn\'ees comme un syst\`eme dynamique. L'op\'erateur de Ruelle devient alors un outil fondamental. Nous pouvons d'abord, dans une approche unifi\'ee, retrouver facilement les r\'esultats d\'ej\`a connus pour les algorithmes d'Euclide classiques. Nous obtenons \'egalement de nouveaux r\'esultats sur l'algorithme du pgcd binaire et les algorithmes du symbole de Jacobi. En particulier, nous r\'esolvons des conjectures dues \`a Brent, Bach et Shallit. Les comportements moyens obtenus font intervenir des constantes reli\'ees \`a l'entropie du syst\`eme dynamique consid\'er\'e. Parfois explicites dans les algorithmes classiques, elles peuvent dans tous les cas \^etre calcul\'ees num\'eriquement.