Michel Petitot, LIFL URA 369 CNRS, Universit\'e des Sciences et Technologies de Lille.

Calculs sur les polylogarithmes à l'aide des séries génératrices

Les polylogarithmes sont introduits comme des int\'egrales it\'er\'ees d\'efinies \`a partir des deux formes diff\'erentielles $dz/z$ et $dz/(1-z)$. Toutes ces fonctions sont cod\'ees ``d'un seul coup'' par une s\'erie g\'en\'eratrice en variables non commutatives.

Cette s\'erie est solution d'une \'equation diff\'erentielle. Par des changements de variables dans cette \'equation, on montrera comment calculer les valeurs des fonctions polylogarithmes en $h(z)$ \`a partir de leurs valeurs en $z$, lorsque la fonction $z \mapsto h(z)$ appartient au groupe \`a 6 \'el\'ements engendr\'e par les deux transformations $z \mapsto 1-z$ et $z \mapsto 1/z$. Les formules obtenues font toutes intervenir la s\'erie g\'en\'eratrice des ``Multiple Zeta Values'' qui se trouve \^etre la s\'erie $\Phi_KZ$ de Drinfel'd.