D\'eveloppements asymptotiques $q$-Gevrey et s\'eries enti\`eres $Gq$-sommables d'ordre~1

Soit $q>1$ fix\'e. Soit $\hat f:=\sum_{n\ge 0}q^{n(n-1)/2}x^n$ une s\'erie th\^eta de Jacobi, divergente. \`A l'aide d'une int\'egrale curviligne, on d\'efinit une fonction $f$ analytique sur la surface de Riemann du logarithme qui v\'erifie la propri\'et\'e suivante. \'Etant donn\'e $\eta\in]0,\pi[$, il existe $K>0$, $A>0$ tels que, pour tous $\theta\in]\eta,2\pi-\eta[$, $n$ entier naturel et $x$ ($=\vert x\vert q^{i\arg_q x}$) de module $\vert x\vert$ suffisamment petit, on ait $\vert f(x)-\sum_{m=0}^{n-1}q^{m(m-1)/2}x^m\vert<KA^nq^{{1\over 2}(n^2+(\arg_q(xe^{-i\theta}))^2)}\vert x\vert^n$. De plus, une telle fonction est {\it unique}. Cet exemple nous sugg\`ere une d\'efinition du d\'eveloppement asymptotique $q$-Gevrey d'ordre~1, adapt\'ee \`a la classe des s\'eries enti\`eres $q$-Gevrey d'ordre~1 \'etudi\'ee par J.-P. B\'ezivin, J.-P.~Ramis, etc. Nous d\'efinissons ensuite la s\'erie enti\`ere $Gq$-sommable d'ordre 1 et en donnons une caract\'erisation en terme d'une transformation de Borel-Laplace $q$-analogue.

Sommabilit\'e des s\'eries enti\`eres solutions formelles d'une \'equation aux $q$-diff\'erences

Soit $q>1$ et soit $\sigma_q $ tel que $(\sigma_qf)(x)=f(qx)$ ($f$ peut \^etre une fonction d\'efinie pr\`es de $x=0$, une s\'erie formelle, etc). Nous nous int\'eressons \`a une \'equation fonctionnelle de la forme suivante~: $\Delta y=0$, avec $\Delta\in{\bf C}\{x\}[\sigma_q]$ (un op\'erateur aux $q$-diff\'erences lin\'eaire \`a coefficients analytiques en $x=0$). \`A partir d'un article de W.~J. Trjitzinsky, nous donnons une factorisation analytique de $\Delta$ en \'el\'ements simples $(x^k\sigma_q+\alpha)$, $k$ \'etant un nombre rationnel et $\alpha$ complexe non nul. Nous d\'efinissons ensuite la notion de s\'erie $Gq$-sommable d'ordre $s$ quelconque ($s=1/k>0$). Nous d\'emontrons que toute s\'erie enti\`ere $\hat y$ telle que $\Delta\hat y\in{\bf C}\{x\}$, est {\it $Gq$-multisommable} au sens suivant. Il existe un ensemble fini de r\'eels strictement positifs $\{k_1,..., k_m\}$ et une famille de s\'eries enti\`eres g\'en\'eralis\'ees $\{\hat y_1,\cdots,\hat y_m\}$ tels que : (1) $\hat y=\hat y_1+...+\hat y_m$; (2) chaque $\hat y_j$ est $Gq$-sommable d'ordre $1/k_j$.