Produits de permutations et cartes combinatoires

Plusieurs familles d'objets topologiques admettent un codage en termes de permutations. C'est le cas des cartes (plongement des graphes dans une surface), mais aussi des classes d'\'equivalences de polyn\^omes, de fonctions rationnelles ou plus g\'en\'eralement de rev\^etements ramifi\'es de la sph\`ere. Gr\^ace \`a ces diff\'erents codages, le probl\`eme de l'\'enum\'eration de ces diff\'erents objets topologiques se ram\`ene \`a diff\'erentes instances du probl\`eme g\'en\'eral suivant~: on veut compter le nombre de $p$-uplets $s_1,\ldots, s_p$ de permutations de $S_n$, de types cycliques donn\'es tel que le produit $s_1\cdots s_p$ soit \'egal \`a la permutation identit\'e. Th\'eoriquement ce probl\`eme est r\'esolu par une formule en termes de caract\`eres du groupe sym\'etrique. Mais cette formule est extr\^emement complexe et fait intervenir plusieurs sommations altern\'ees d'un nombre exponentiel (en $n$) de termes. En particulier il semble tr\`es difficile de d\'eterminer quand ces nombres sont nuls. Dans certains cas extr\^emaux (correspondant aux objets planaires de la topologie) des formules \'el\'egantes ont \'et\'e obtenues r\'ecemment (Goulden et Jackson) qui g\'en\'eralisent des r\'esultats d'Hurwitz. Ces formules sont d\'emontr\'ees \`a l'aide de d\'ecompositions et de calculs sur les s\'eries g\'en\'eratrices. En combinant les deux approches, nous avons obtenu avec Alain Goupil (LaCIM) la g\'en\'eralisation de certaines formules au cas non planaire. Nos r\'esultats contiennent la quasi-totalit\'e des cas particuliers connus en genre non nul.