Primalit\'e cyclotomique

Le sujet principal de l'expos\'e sera le test de cyclotomie, qui fut invent\'e par Lenstra pour combiner le test des sommes de Jacobi aux anciens tests dits de Lucas-Lehmer. Tout en ayant un comportement asymptotique des plus curieux -- $O(\log n \log \log \log n)$ et une approche ``presque'' d\'eterministe, qui rend des certificats impossibles, le test de cyclotomie est robuste et beaucoup plus rapide que ECPP, pour les nombres que nous pouvons prouver avec les machines actuelles. Il est aussi, dans son \'etape centrale, peut-\^etre le mieux compris, ce qui ne laisse pas beaucoup de place \`a des am\'eliorations. Dans la premi\`ere partie de l'expos\'e, nous allons exposer la th\'eorie g\'en\'erale de la cyclotomie (des anneaux), le test et les relations int\'eressantes avec les anciens tests de type Lucas-Lehmer. Dans la seconde partie -- ayant pour but d'\'eviter l'ennui futur de r\'eduire la comp\'etition entre cyclotomie et ECPP aux petites performances et am\'eliorations locales -- nous analysons par analogie des questions ouvertes, peu recherch\'ees ou surprenantes, li\'ees aux tests de primalit\'e. Malgr\'e de nouveaux records qui continuent de repousser plus loin la limite de grandeur des nombres qu'on peut prouver avec un test g\'en\'eral de primalit\'e, un certain degr\'e d'insapience g\'en\'erale sera mis \`a jour.