Guillaume Hanrot, LIX, \'Ecole polytechnique

R\'esolution effective d'\'equations diophantiennes

Au d\'ebut du si\`ecle, les travaux de Thue et de Siegel sur les approximations rationnelles des nombres alg\'ebriques leur ont permis de prouver la finitude du nombre de solutions enti\`eres des deux classes d'\'equations diophantiennes suivantes : {\em (i)\/} $P(X,Y)=a$, $P$ homog\`ene de degr\'e au moins 3, $a$ entier (\'equations de Thue); {\em (ii)\/} $aY^n=f(X)$, $f$ polyn\^ome sans facteur carr\'e de degr\'e au moins $3$, $n\geq 2$ (\'equations superelliptiques). La th\'eorie des formes lin\'eaires en logarithmes, initi\'ee par Baker et d\'evelopp\'ee par de nombreux math\'ematiciens, permet en plus de donner une borne pour la plus grande solution. Malheureusement, cette borne est souvent sans commune mesure avec la taille ``r\'eelle'' des solutions ; pour les exemples les plus simples, elle est de l'ordre de $2^{10^{10}}$. On d\'ecrit divers algorithmes permettant de ``r\'eduire'' cette borne et d'en d\'eduire toutes les solutions d'\'equations des deux types ci-dessus.