Polyn\^omes orthogonaux, fractions continues et processus de naissance et de mort

L'objet de la pr\'esentation est de mettre en \'evidence les relations profondes entre la th\'eorie des probabilit\'es et celle des fractions continues de Stieltjes et des polyn\^omes orthogonaux dans l'\'etude des excursions pour les processus de naissance et mort. La connexion entre ces deux th\'eories est en g\'en\'eral abord\'ee par l'interm\'ediaire du r\'esultat de Karlin et Mc Gregor permettant de r\'esoudre les \'equations de Chapman Kolmogorov associ\'ees \`a un processus de naissance et mort. Celui-ci introduit en effet un syst\`eme fondamental de polyn\^omes orthogonaux par rapport \`a une certaine mesure spectrale. Dans cet expos\'e, on montre comment ces polyn\^omes interviennent dans l'\'etude des caract\'eristiques transitoires associ\'ees \`a un processus de naissance et de mort, ce qui permet en particulier de donner une interpr\'etation probabiliste des crit\`eres de convergence de Stieltjes pour la fraction continue associ\'ee. Le propos est illustr\'e par l'\'etude de la file $M/M/\infty$. Ces r\'esultats sont notamment utilis\'es pour caract\'eriser le multiplexage statistique en boucle ouverte sur un lien ATM.