Transcendance de s\'eries g\'en\'eratrices

Savoir si une s\'erie \`a coefficients rationnels est transcendante sur ${\mathbb Q}(X)$ mesure d'une certaine mani\`ere la complexit\'e de cette s\'erie. Par exemple si la s\'erie g\'en\'eratrice d'un langage est transcendante, le langage ne peut pas \^etre alg\'ebrique non-ambigu.

Les m\'ethodes ``classiques'' pour montrer la transcendance sont le plus souvent analytiques, et un survol de P. Flajolet (TCS 1987) donne une large palette d'outils de cette nature.

Nous nous proposons d'\'etudier cette question de fa\c{c}on ``purement'' al\-g\'e\-bri\-que gr\^ace au lemme facile suivant : {\em si une s\'erie \`a coefficients entiers est alg\'ebrique sur ${\mathbb Q}(X)$, alors ses r\'eduites modulo les nombres premiers $p$ sont alg\'ebriques sur les ${\mathbb F}_p(X)$ et de degr\'e born\'e}. Nous montrons comment de nombreux r\'esultats peuvent \^etre ainsi retrouv\'es de mani\`ere \'el\'ementaire et nous lan\c{c}ons un appel d'offre \`a quiconque a une s\'erie vraisemblablement transcendante, mais \`a laquelle les m\'ethodes classiques ne s'appliquent pas.

Enfin nous pr\'esentons un r\'esultat (J.-P. A., D. Gouyou-Beauchamp et G. Skordev) qui g\'en\'eralise la transcendance de la s\'erie $\sum {2n \choose n}^t X^n$ (o\`u $t$ est un entier $>2$).