Solutions d'une \'Equation Différentielle Algébrique

Une équation différentielle algébrique $ p(x, y, y', \ldots , y^{(n)}) =0 $, où $p$ est un polynôme, admet différents {\em types} de solutions. Classiquement on distingue les {\em solutions singulières} de la {\em solution générale}. D'un point de vue algébrique, chaque type de solution est défini par l'ensemble des équations différentielles algébriques qu'elle satisfait. Lors de cet exposé, nous proposerons un algorithme pour calculer les {\em bases différentielles} de ces ensembles. Ces bases différentielles permettent notamment de déterminer les conditions initiales pour lesquelles les solutions sont analytiques. Cet algorithme est relativement simple lorsque l'équation différentielle est du premier ordre. Pour les ordres supérieurs, nous faisons appel à des résultats sophistiqués d'algèbre différentielle, notamment au {\em théorème des petites puissances}. L'implémentation requiert dans ce cas l'algorithme Rosenfeld-Gröbner de F. Boulier.