Un algorithme efficace pour le calcul des solutions rationnelles d'un syst\`eme diff\'erentiel lin\'eaire

Soit un syst\`eme diff\'erentiel lin\'eaire $ Y' = AY +b$ o\`u $A$ est une matrice carr\'ee et $b$ un vecteur \`a coefficients dans $k(x)$ ($k$ \'etant un corps de caract\'eristique nulle). Nous d\'evelopperons un nouvel algorithme \'el\'ementaire et efficace qui permet de construire toutes les solutions rationnelles (i.e. les solutions $Y$ dont les composantes sont dans $k(x)$) d'un tel syst\`eme. Nous parlerons de son implantation en {\sc Maple} et nous montrerons son efficacit\'e en la comparant aux programmes existants.