D\'eterminants, nombres de Catalan et fonctions sym\'etriques de Macdonald

Pour \'etudier la conjecture de Macdonald, F.~Bergeron, A.~M.~Garcia et M.~Haiman ont introduit un op\'erateur lin\'eaire $\nabla$ dont les valeurs propres sont \`a quelque chose pr\`es les fonctions sym\'etriques de Macdonald $P_{\mu}(x;q,t)$. Quand $t=1$, \`a cause de l'identit\'e de Jacobi-Trudi, la composante sur la fonction \'el\'ementaire $e_n$ de l'image par $\nabla$ de la fonction de Schur $S_{\mu}$ est un d\'eterminant de $q$-analogues de nombres de Catalan. En utilisant la m\'ethode de Gessel et Viennot pour le calcul de d\'eterminants li\'es \`a des chemins qui ne se coupent pas, on peut calculer ces d\'eterminants et montrer une propri\'et\'e de dualit\'e li\'ee \`a la dualit\'e des partitions qui d\'efinissent $S_{\mu}$. Ce travail est un travail commun de F.~Bergeron, de M.~Bousquet-M\'elou et de l'orateur.