Le semi-anneau (max,+): une introduction

Le semi-anneau $({\Bbb{R}}\cup \{-\infty\},\max,+)$, dit ``semi-anneau (max,+)'' ainsi que ses variantes, comme le semi-anneau $({\Bbb{N}} \cup\{+\infty\},\min,+)$, dit ``tropical'', a \'et\'e \'etudi\'e ind\'ependamment par diverses communaut\'es depuis les ann\'ees 50--60. Ces structures ont permis d'alg\'ebriser des probl\`emes de recherche op\'erationnelle et de commande optimale, de mod\'eliser et d'\'evaluer des syst\`emes \`a \'ev\'enements discrets (syst\`emes de production, r\'eseaux de transports, syst\`emes multiprocesseur,~\ldots). Elles ont \'et\'e utiles dans l'\'etude de ph\'enom\`enes asymptotiques. En th\'eorie des langages, enfin, le semi-anneau tropical a jou\'e un r\^ole cl\'e dans la r\'esolution d'un certain nombre de probl\`emes de d\'ecision classiques comme le probl\`eme de la limitation, ainsi que dans l'\'evaluation des complexit\'es non d\'eterministes d'automates. L'expos\'e, de nature introductive, essaiera de donner un aper\c{c}u de quelques probl\`emes et contributions typiques des diff\'erentes \'ecoles (max,+). On pr\'esentera les r\'esultats de base, autour de la th\'eorie spectrale des matrices et de la th\'eorie des s\'eries rationnelles, en mettant particuli\`erement l'accent sur les questions de calcul effectif.