Le calcul de grandes valeurs de la fonction $\pi(x)$

Le moyen le plus simple pour calculer le nombre de nombres premiers inf\'erieurs \`a $x$, not\'e $\pi(x)$, est le crible d'\'Eratosth\`ene. On rappelle la formule de Legendre qui est la premi\`ere formule pratique permettant d'obtenir $\pi(x)$ sans \'enum\'erer tous les nombres premiers jusqu'\`a $x$, puis la formule de Meissel, et enfin la m\'ethode combinatoire introduite par Lagarias, Miller et Odlyzko en 1985 donnant un algorithme de calcul de $\pi(x)$ de complexit\'e $O(x^{2/3}/\log x)$, que nous avons am\'elior\'e en $O(x^{2/3}/\log^2 x)$.