Asymptotique des r\'ecurrences mahl\'eriennes~:\\ nombre de partitions binaires pond\'er\'ees suivant le nombre de sommants

Le nombre de partitions binaires d'un entier pond\'er\'ees multiplicativement suivant le nombre de sommants fournit un exemple simple et basique de r\'ecurrence du type diviser pour r\'egner. Des techniques classiques de th\'eorie des nombres (transformation de Mellin, formule de Perron) permettent d'obtenir un \'equivalent asymptotique et de mettre en valeur des fluctuations en \'echelle logarithmique usuelles dans ce contexte.