Nombres structur\'es

Le produit de deux entiers positifs $a$ et $b$ peut \^etre vu comme le r\'esultat de la somme de $b$ facteurs \'egaux \`a $a$. Il en va de m\^eme pour la $b$-i\`eme puissance de $a$ qui peut \^etre d\'efinie par le r\'esultat du produit de $b$ facteurs \'egaux \`a $a$. Ce processus d'obtention d'une op\'eration nouvelle par la r\'ep\'etition de l'op\'eration pr\'ec\'edente s'arr\^ete avec l'exponentiation car cette derni\`ere op\'eration n'est pas associative. \noindent Dans cet expos\'e nous introduisons une hi\'erarchie d'op\'erations internes sur les arbres binaires qui est similaire \`a la hi\'erarchie pr\'ec\'edente mais qui peut \^etre poursuivie ind\'efiniment sans ambiguit\'e. Les op\'erations de la hi\'erarchie jouissent de propri\'et\'es alg\'ebriques remarquables qui g\'en\'eralisent des propri\'et\'es bien connues des entiers. \noindent La structure d'arbre binaire munie de notre addition est isomorphe au magma libre g\'en\'er\'e par un seul \'el\'ement. En cons\'equence elle est \'egalement isomorphe \`a quantit\'e d'autres structures combinatoires bien connues (chemins de Dyck, par exemple). Cette remarque justifie le titre de l'expos\'e et fournit une explication de l'apparition fr\'equente en combinatoire des nombres de Catalan.