Calcul symbolique des int\'{e}grales hyperelliptiques et arithm\'{e}tique dans la jacobienne

Une int\'{e}grale hyperelliptique est de la forme $$int \frac{A(x) + B(x) y}{Q(x) + R(x) y} \, dx$$ avec $y = \sqrt{f(x)}$ et o\`{u} $A$, $B$, $Q$, $R$ et $f$ sont des polyn\^{o}mes \`{a} coefficients dans un corps $K$. Le probl\`{e}me est de calculer quand elle existe une forme "\'{e}l\'{e}mentaire" d'une telle int\'{e}grale (c'est-\`{a}-dire s'exprimant \`{a} l'aide de fonctions alg\'{e}briques, de logarithmes et d'exponentielles). Un point cl\'{e} dans l'algorithme est le calcul de l'ordre de certains diviseurs dans la jacobienne de la courbe d'\'{e}quation $y^2=f(x)$. On montrera comment, \`{a} l'aide d'une arithm\'{e}tique efficace dans la Jacobienne, on peut acc\'{e}l\'{e}rer de mani\`{e}re importante l'algorithme existant, dans le cas particulier des courbes hyperelliptiques.