Bases normales et forme rationnelle canonique (sur un corps fini)

Nous pr\'esentons un algorithme de calcul d'un vecteur cyclique d'une matrice dont le polyn\^ome caract\'eristique est sans facteurs multiples. Cet algorithme s'applique notamment pour calculer une {\em base normale} dans un corps fini \`a un co\^ut $O(n^3+n^2\log q)$. La forme {\em sp\'eciale Hessenberg} d'une matrice est introduite dans la construction de cet algorithme, et son utilit\'e est montr\'ee (structure et caract\`ere creux). \noindent Si la factorisation du polyn\^ome caract\'eristique de $A$ est connue, par exemple sur un corps fini, il est aussi possible de calculer les sous-espaces caract\'eristiques de $A$. La forme rationnelle canonique, ou forme de Frobenius, peut alors \^etre calcul\'ee, \`a un co\^ut meilleur en moyenne que l'algorithme d'Ozello.