Dessins d'enfants de Grothendieck, aspect calculatoire

Les dessins d'enfants, introduits par Grothendieck dans son esquisse d'un programme, sont des revetements de la sph\`ere ramifi\'es seulement au dessus de $3$ points rationnels $(0,1, \infty)$ par exemple. De tels objets admettent plusieurs descriptions~: - combinatoire~: sous groupe d'indice fini d'un groupe libre \`a deux g\'en\'erateurs. - g\'eom\'etrique~: corps de fonction extension de ${\bf C}(t)$. - arithm\'etique~: extension de $K(t)$ avec $K$ corps de nombre. Outre les connexions nombreuses avec des domaines aussi inattendus que la th\'eorie des champs quantiques et la th\'eorie des tresses, l'\'etude de ces dessins semble prometteuse pour la compr\'ehension du groupe de Galois de $\overline{{\bf Q}}/{\bf Q}$. Dans cet expos\'e, apr\`es avoir pr\'esent\'e le sujet et la difficult\'e de conduire des calculs explicites pourtant n\'ecessaires, je mettrai en concurrence les m\'ethodes formelles et num\'eriques que j'ai eu l'occasion d'utiliser. On verra en particulier l'efficacit\'e de l'algorithme $lll$ de Lenstra et Lovasz. \\ Je concluerai en pr\'esentant de jolis exemples ainsi obtenus.