S\'eries et produits infinis li\'es aux d\'eveloppements binaires des entiers

On consid\`ere divers probl\`emes li\'es \`a la repr\'esentation binaire des entiers. La suite de Thue--Morse qui correspond \`a la parit\'e du nombre de chiffres $1$ dans les repr\'esentations binaires donne lieu \`a diverses identit\'es et formes explicites de constantes. Nous nous proposons de montrer comment obtenir tout un zoo de relations en utilisant soit des s\'eries de Dirichlet, soit des m\'ethodes \'el\'ementaires. Notons que le myst\`ere de la ``s\'erie de Flajolet'' reste entier \ldots