Circuits Synchrones, Nombres 2-adiques, et Codages RSA

Nous mettons en \'evidence une correspondance entre le corps ${\bf R}_2$ des nombres $2$-adiques et les circuits~: \begin{enumerate} \item Une fonction $f$ de ${\bf R}_2 \times {\bf R}_2\times \cdots \times {\bf R}_2 \rightarrow {\bf R}_2$ est continue si et seulement si elle est repr\'esentable par un circuit combinatoire infini. \item Une fonction $f$ de ${\bf R}_2 \times {\bf R}_2\times \cdots \times {\bf R}_2 \rightarrow {\bf R}_2$ est en ligne si et seulement si elle est repr\'esentable par un circuit synchrone. Une fonction $f$ de ${\bf R}_2 \rightarrow {\bf R}_2$ est en ligne si~: \begin{enumerate} \item $f(R) = f(R \bmod {2^n}) \bmod {2^n}$ pour tout $n$, et \item $f(2R) = 2f(R)$ pour tout nombre $2$-adique $R$. \end{enumerate} \item Nous montrons comment obtenir, \`a partir de relations simples sur les nombres $2$-adiques, des circuits synchrones de calcul de $A+B$, $A-B$, $A\times B$ ainsi que $1/(1+2B)$ et $\sqrt{1+8B}$. \item Nous r\'ealisons enfin un circuit de calcul des produits modulaires $(A\times B)\bmod C$, toujours dans une arithm\'etique en ligne, des poids faibles vers les poids forts. Ce circuit est \`a la base d'une implantation du syst\`eme de codage RSA sur PAM qui d\'etient le record de vitesse pour cette application, avec 20Kb/sec. \end{enumerate} L'arithm\'etique 2-adique, des poids faibles vers les poids forts, est duale de l'arithm\'etique r\'eelle (cf. expos\'e de J.M.~Muller), des poids forts vers les poids faibles; nous en discutons les avantages et inconv\'enients, th\'eoriques et pratiques.