Minorations de $\Vert (3/2)^k\Vert$

Notons $\Vert (3/2)^k \Vert$ la distance de $(3/2)^k$ \`a l'entier le plus proche. Pour pr\'eciser les formules intervenant dans le probl\`eme de Waring, il serait int\'eressant de savoir \`a partir de quelle valeur l'in\'egalit\'e (vraie asymptotiquement) $\Vert (3/2)^k \Vert \geq (3/4)^k $ est v\'erifi\'ee. En 1981, Beukers a prouv\'e que, pour $k>5000$, on a $\Vert (3/2)^k \Vert > (0.5358)^k$. En 1990, Dubitskas a montr\'e que $\Vert (3/2)^k \Vert > (0.5769)^k$ pour $k>k_0$ effectif, mais non explicite. Nous nous proposons de d\'emontrer un r\'esultat interm\'ediaire, \`a savoir que $\Vert (3/2)^k \Vert > (0.554)^k $, pour $k\geq 5$.