Fonctions Sym\'etriques et $P$-R\'ecursivit\'e

Cet expos\'e a pour but de pr\'esenter les travaux de I. Gessel qui \'etablissent des liens entre la th\'eorie des fonctions sym\'etriques et celle des suites $P$-r\'ecursives. Les fonctions sym\'etriques ``$D$-finite'' seront d\'efinies. On montrera que leurs coefficients forment des suites $P$-r\'ecursives et on prouvera que la suite \'enum\'eratrice des graphes $k$-r\'eguliers est $P$-r\'ecursive pour toute valeur de $k$. On verra d'autres applications \'enum\'eratives : tableaux de Young de hauteur born\'ee, matrices d'entiers dont les sommes des \'el\'ements par ligne et par colonne sont d\'etermin\'ees, matrices 0-1, permutations dont la plus longue sous-suite croissante est au plus $k$.