Méthodes algébriques pour la résolution d'équations différentielles matricielles d'ordre arbitraire.

Dans cet exposé, on développe de nouvelles méthodes algébriques pour la résolution effective d'une classe importante de systèmes d'équations différentielles linéaires d'ordre arbitraire. De tels systèmes ont des applications dans de nombreuses disciplines scientifiques comme la chimie, la physique, la mécanique ou encore en théorie du contrôle. Dans un premier temps, on s'intéresse à l'analyse locale des systèmes d'équations différentielles linéaires ordinaires au voisinage d'une singularité : détermination de la nature des singularités, calcul des solutions formelles, calcul des invariants formels, etc. L'approche classique pour manipuler ces systèmes consiste à les transformer en des systèmes du premier ordre mais de dimension plus grande. On sait aussi que, par le moyen de vecteurs cycliques par exemple, tout système différentiel du premier ordre peut être réduit en une équation différentielle scalaire. Bien que l'analyse locale des équations scalaires au voisinage d'une singularité soit parfois immédiate (polygone de Newton pour la classification des singularités par exemple), elle devient plus compliquée quand il s'agit de manipuler directement des systèmes différentiels et surtout ceux d'ordre supérieur à 1. On montre dans cet exposé nos principales contributions élaborées dans cette direction et on met l'accent sur les différentes difficultés rencontrées. Dans un second temps, on s'intéresse aux systèmes d'équations algébro-différentielles linéaires. Pour pouvoir appliquer la théorie classique des équations différentielles ordinaires, on propose des algorithmes permettant de découpler le système en une partie purement différentielle et une autre purement algébrique.