Valeurs des G-fonctions en des points algébriques.

Les G-fonctions forment une classe de séries entières à coefficients algébriques vérifiant certaines contraintes de croissance. Une G-fonction vérifie une équation différentielle fuchsienne et peut être prolongée analytiquement au plan complexe, privé de coupures. Comme exemple de G-fonctions, on peut citer les fonctions algébriques sur Q, les fonctions polylogarithmes, les fonctions hypergéométriques de Gauss à paramètres rationnels. En revanche, la fonction exponentielle n'est pas une G-fonction. Le but de l'exposé est d'expliquer la preuve des deux résultats suivants.

1) Toute valeur d'une G-fonction convergente en un point algébrique (notons GC l'ensemble de ces valeurs) est aussi la valeur en z=1 d'une G-série absolument convergente en z=1 et à coefficients dans Q(i). Il suit en particulier que GC est un anneau.

2) Le corps des fractions de GC coïncide avec le corps GAP des nombres complexes définis de la façon suivante : X est dans GAP s'il existe deux suites p_n et q_n d'éléments de Q(i) tels que p_n est différent de 0, p_n/q_n tend vers X et les séries génératrices sum_n p_n zⁿ et sum_n q_n zⁿ sont des G-fonctions. Il s'agit d'un travail en commun avec Stéphane Fischler (Université de Paris-Sud).