Utilisation de variétés polaires dans les problèmes d'optimisation.

On considère des problèmes d'optimisation globale algébrique : il s'agit de calculer l'infimum d'un polynôme multivarié sous des contraintes polynomiales. Résoudre un tel problème peut avoir plusieurs significations selon le contexte applicatif. On peut chercher par exemple à certifier des bornes inférieures sur l'infimum. Ceci peut s'effectuer par le calcul de certificats algébriques (Positivstellensatz). Dans cet exposé, je montrerai l'existence de certificats fondés sur des décompositions en sommes de carrés qui généralisent des résultats précédemment obtenus par Nie, Demmel et Sturmfels. Dans le cas non contraint, on s'intéressera au problème de décider si l'infimum d'une fonction polynomiale est un minimum. Je présenterai un algorithme et son analyse de complexité pour résoudre ce problème. Comme pour le problème précédemment mentionné, cet algorithme s'appuie sur l'étude des propriétés de variétés polaires qui encodent des points critiques. Certains de ces travaux sont communs avec M. Safey El Din ; d'autres sont communs avec F. Guo, M. Safey El Din et L. Zhi.