Intégrabilité des systèmes hamiltoniens et D-finitude.

Nous démontrons un critère général d'intégrabilité méromorphe à l'ordre 2 d'un système hamiltonien défini par un potentiel homogène de degré -1. Cela permet de renforcer les contraintes de Morales-Ramis. Pour cela, nous étudions les équations variationnelles à l'ordre 2 au voisinage d'une orbite homothétique et nous montrons qu'elle se ramène à l'étude de la monodromie d'une équation différentielle linéaire non homogène dont les coefficents dépendent de trois indices entiers et sont D-finis. Cette propriété est en fait générale et reste vraie pour tout degré d'homogénéité et pour tout ordre d'équation variationnelle. La non-intégrabilité à un ordre fixé se ramène ainsi à prouver la non nullité d'une suite D-finie. Nous illustrons ces idées en les appliquant au problème des 3 corps alignés puis sur un potentiel homogène de degré 4 dont la question de l'intégrabilité reste ouverte.