Monoïdes et algèbres de tris sur les groupes de Coxeter

(Travail commun avec Florent Hivert et Anne Schilling) Les opérateurs de tri à bulle élémentaires pi_i, i=1...n-1 sont définis comme suit: pi_i agit sur un mot de longueur n en triant les lettres en position i et i+1. En considérant le monoïde (ou son algèbre), on obtient le modèle combinatoire usuel pour décrire la 0-algèbre de Hecke H_n(0) du groupe symétrique. Cette construction se généralise naturellement pour tout groupe de Coxeter fini. En combinant ces opérateurs avec plusieurs variantes (tri croissant / décroissant / affine), nous construisons un certain nombre de monoïdes et algèbres. De manière étonnante en premier abord, ceux-ci se retrouvent munis d'une structure très riche, faisant intervenir la combinatoire des descentes (et une généralisation de celle-ci), les permutations simples, les ordres usuels sur les groupes de Coxeter (Bruhat, permutohèdre gauche et droit), ainsi que de nouveaux ordres et treillis. Cette structure s'explique par de nombreuses connections avec la théorie des représentations des semigroupes et algèbres, l'algèbre de Hecke affine, les fonctions symétriques, etc. L'exposé vise une large audience, s'appuyant sur de multiples d'exemples et sur des sessions de calculs typiques avec Sage pour illustrer la démarche exploratoire sous-tendant cette recherche.