Approximations rationnelles des valeurs de la fonction Gamma et applications arithmétiques.

L'exposé sera centré autour de la très classique fonction Γ, qui interpole la fonction factorielle. La nature arithmétique des nombres Γ(a), pour a algébrique non entier, est peu connue. On sait par exemple que Γ(1/2) = π^1/2, Γ(1/3), Γ(1/4) sont transcendants mais on ne sait rien de la nature de Γ(1/5). Il est déjà assez difficile d'obtenir de bonnes approximations rationnelles de ces nombres. Je présenterai une méthode qui permet d'obtenir des approximations rationnelles des nombres Γ(a), pour tout rationnel a non entier donné. Les numérateurs et dénominateurs des approximations sont produits par des récurrences linéaires d'ordre 3 à coefficients polynomiaux. Les idées sous-jacentes permettent d'obtenir quelques résultats d'irrationalité ou de transcendance nouveaux, tels que le suivant : au moins un des deux nombres Γ(1/5) := ∫ ₀^∞t^-4/5e^-tdt et ∫ ₀^∞(1 + t)^-4/5e^-tdt est irrationnel.