10h30: Nicolas Pouyanne, Université de Versailles Saint-Quentin en Yvelines.

Lois limite pour les grandes urnes de Pólya.

Prenez une urne de Pólya à deux couleurs. Supposez qu'elle est balancée (c'est-à-dire qu'on ajoute un nombre fixe S de boules à chaque étape) et qu'elle est grande (i.e. σ, rapport des valeurs propres de la matrice de remplacement, vérifie 1/2<σ). Après n tirages, le vecteur donnant la composition de l'urne est asymptotiquement égal à un premier terme déterministe d'ordre n plus un second terme aléatoire d'ordre n^σ. La question posée est celle de la loi de ce terme aléatoire. La méthode consiste à plonger l'urne discrète en temps continu : on obtient ainsi un processus de branchement multitype. On écrit alors les équations de dislocation pour ce processus, qui aboutissent à un système différentiel sur les fonctions caractéristiques associées. On résout ce système et on exprimer ces transformées de Fourier à l'aide d'inverses d'intégrales abéliennes sur une courbe de Fermat. Cette nouvelle famille de lois de probabilité reste encore largement à explorer.