15h30: Didier Piau, Université Joseph Fourier Grenoble.

Produits de matrices corrélées et nombres de q-Catalan.

Nous montrons que la convergence, due à Wigner, du spectre de grandes matrices aléatoires symétriques peut être étendue aux produits de matrices aléatoires symétriques corrélées, gaussiennes ou non. Les moments asymptotiques coïncident avec des énumérations pondérées de permutations ou, de façon équivalente, des énumérations pondérées d'arbres enracinés. Dans le cas de corrélations markoviennes, les premiers moments asymptotiques sont reliés aux q-nombres de Catalan. On en déduit l'existence d'une transition de phase pour ces moments asymptotiques en fonction du coefficient de corrélation. Le coefficient de corrélation critique correspond au plus petit zéro positif d'une fonction q-hypergéométrique. On redémontre également des résultats de Logan-Mazo-Odlyzko-Shepp correspondant au cas de la dimension 1. Travail en collaboration avec Christian Mazza (université de Genève).