Transition de phase dans les asymptotiques des hauteurs des arbres de fragmentation

On se donne un processus de fragmentation conservatif à temps discret de l'intervalle (0,1): chaque intervalle présent à la génération k est fragmenté aléatoirement (mais selon une loi fixée ne dépendant pas de l'intervalle ni de la génération) en un nombre au plus dénombrable d'intervalles ouverts (dont la réunion est dense dans l'intervalle fragmenté) qui remplacent l'intervalle fragmenté à la génération k+1. Toutes les fragmentations sont bien sûr supposées indépendantes les unes des autres. On jette ensuite n points indépendants et uniformément distribués sur (0,1). Nous nous intéresserons à l'asymptotique de la première génération où chaque intervalle de la fragmentation contient au plus j points (j est un entier fixé) lorsque le nombre n de points jetés tend vers l'infini. Nous verrons qu'une transition de phase apparaît selon la valeur de j!