Aspects tropicaux des problèmes de calcul de valeurs propres.

Les valeurs propres max-plus ou tropicales d'une matrice peuvent être définies comme les racines de son polynôme caractéristique au sens tropical, c'est-à-dire comme les points de non-différentiabilité de la fonction valeur d'un problème d'affectation optimale paramétrique. On montrera ici comment les valeurs propres tropicales interviennent dans des problèmes de calcul de développement en série de valeurs propres (classiques) de matrices singulièrement perturbées (théorie de Lidskii), ainsi que dans les problèmes de calcul numérique précis de valeurs propres de matrices ou de faisceaux matriciels dont les coefficients ont des ordres de grandeurs variés. Dans les deux cas, les valeurs propres tropicales déterminent les ordres de grandeur des différentes valeurs propres, sous certaines conditions de généricité. En outre, dans le second cas, les variables duales du problème d'affectation optimale sous-jacent fournissent des mises à l'échelle qui peuvent être exploitées pour améliorer la précision des calculs numériques. Cet exposé est issu de travaux communs, avec Marianne Akian et Ravindra Bapat pour la partie relative aux développements en série, et avec Meisam Sharify pour l'application au calcul numérique.