Solutions régulières de systèmes différentiels linéaires et régularisation de leurs matrices polynomiales associées.

On considère des systèmes différentiels linéaires de la forme $A_\ell(x)\vartheta^\ell y(x)+\cdots+A_1(x)\vartheta y(x)+A_0(x)y(x)=0,$ où $\vartheta=xd/dx$ et les coefficients $A_i(x)$ sont des matrices polynomiales carrées de taille $n$. On s'intéresse au calcul des solutions régulières formelles de tels systèmes. Dans le cas scalaire ($n=1$), il existe plusieurs méthodes (Frobenius, Poole, etc.) pour résoudre ce problème. Le but de l'exposé est d'expliquer comment on peut étendre ce type de méthodes aux systèmes avec $n$ et $\ell$ arbitraires. Ce qui va jouer le rôle de l'équation indicielle est $\det(L_0(\lambda))$ où $L_0(\lambda):=A_\ell(0)\lambda^\ell +\cdots+A_1(0)\lambda+A_0(0).$ L'exposé sera divisé en deux parties. La première sera dédiée au cas $\det(L_0(\lambda))\not \equiv 0$. On montrera que tout se passe comme dans le cas scalaire, c'est-à-dire, la dimension de l'espace des solutions régulières d'un tel système est égale à $\deg(\det(L_0(\lambda)))$ et on développera un algorithme généralisant la méthode de Poole pour en calculer une base. Dans la deuxième partie, on supposera que $A_\ell(x)$ est inversible et $\det(L_0(\lambda))\equiv 0$. En s'inspirant de la méthode "EG'-elimination" proposée par Abramov et Bronstein en 2003, on développera un nouvel algorithme qui nous permettra de se ramener au premier cas. En fait, on vérifiera tout d'abord si cela peut se faire à l'aide d'un changement de variable, sinon on effectuera des opérations élémentaires sur les équations du système. On donnera les complexités arithmétiques des algorithmes et on discutera les résultats d'une implémentation en Maple.