À propos du calcul des polynômes de Darboux.

Durant cet exposé nous allons considérer des équations différentielles de la forme: dX/dt= A(X,Y), dY/dt= B(X,Y), où A,B \in Z[X,Y], deg A \leq d, deg B \leq d, et la hauteur de A et B est majorée par H. De nombreuses propriétés de telles équations sont liées aux polynômes de Darboux de la dérivation correspondante: D = A(X,Y)\partial_X + B(X,Y)\partial_Y. Les polynômes de Darboux sont habituellement calculés avec la méthode des coefficients indéterminés. Avec cette méthode nous devons résoudre un système polynomial. Nous allons montrer que cette méthode peut conduire au calcul d'un nombre exponentiel de polynômes de Darboux réductibles. On présentera ensuite une méthode permettant de calculer tous les polynômes de Darboux irréductibles de degré inférieur à N avec une complexité polynomiale en d, log(H) et N.