14h00: Une notion de forme réduite pour les systèmes linéaires différentiels et intégrabilité de systèmes Hamiltoniens. Ainhoa Aparicio Monforte, DMI à l'Université de Limoges.

Un système Hamiltonien à $n$ degrés de liberté est dit intégrable s'il possède $n$ intégrales premières fonctionellement indépendantes et en involution. Le théorème de Morales-Ramis affirme que si un système Hamiltonien est intégrable en ce sens alors son équation variationelle $Y'=AY$ avec $A\in\mathfrak{sp}(2n,k)$ satisfait que $\operatorname{Lie}(Y'=AY)$ est abélienne. Dans cet exposé nous introduisons la notion de forme réduite (intuitivement la forme la plus creuse que peut prendre un système différentiel linéaire) et nous donnons un algorithme qui soit met $A\in\mathfrak{sp}(4,k)$ sous forme réduite si $\operatorname{Lie}(Y'=AY)$ est abélienne, soit nous dit que $\operatorname{Lie}(Y'=AY)$ n'est pas abélienne. Cet algorithme appliqué dans le contexte du théorème de Morales-Ramis nous permet soit de dire que le système hamiltonien de départ est non intégrable soit à préparer le système variationel à l'application du théorème de Morales-Ramis-Simó. L'ensemble sera illustré par des exemples. Ceci est un travail développé en collaboration avec mon directeur de thèse Jacques-Arthur Weil (XLIM DMI, Université de Limoges).