10h30: Évaluation numérique à grande précision de fonctions holonomes. Marc Mezzarobba, ENS-P/Projet Algorithmes.

Des algorithmes dus (dans leur version générale) à David et Gregory Chudnovsky permettent d'évaluer numériquement à grande précision - pour fixer les idées, mille ou dix mille décimales - les fonctions analytiques complexes solutions d'équations différentielles linéaires à coefficients polynomiaux. Le point de départ est un algorithme qui permet de "dérouler" efficacement certaines suites récurrentes. Je présenterai ces différents algorithmes, devenus pour la plupart classiques, ainsi que quelques remarques sur leur complexité et leur implémentation. Les algorithmes d'évaluation numérique s'appliquent à l'extrémité d'un chemin quelconque de prolongement analytique, aussi j'évoquerai l'influence du choix du chemin dans une classe d'homotopie sur la complexité du calcul. Enfin, je décrirai un procédé de calcul de bornes sur les développements en série des solutions d'équations différentielles (linéaires, à coefficients polynomiaux). Appliqué aux algorithmes précédents, celui-ci permet de contrôler finement le nombre de termes des développements de Taylor à prendre en compte pour garantir une certaine précision lors du prolongement analytique numérique.