14h00: Solutions formelles locales en un point singulier d'une classe de systèmes d'EDP linéaires d'ordre 1. Nicolas Le Roux, Projet Algorithmes.

Dans cet exposé, je considérerai la classe des systèmes d'EDP linéaires complètement intégrables de la forme dY = (A(x,y)/x^p dx + B(x,y)/y^q dy) Y où (p,q) est un couple d'entiers naturels non nuls, A et B sont des matrices de taille m dont les coefficients sont des séries formelles en x et y à coefficients complexes. Hélène Charrière a montré dans sa thèse que modulo quelques transformations non constructives, les solutions locales en (x,y) = (0,0) de tels systèmes s'obtiennent en combinant les solutions locales en 0 de deux systèmes différentiels linéaires singuliers en 0 : l'un en u, gouvernant le comportement en x, l'autre en v, gouvernant celui en y. Je présenterai un début de réponse pour le calcul des solutions formelles locales en (0,0) de tels systèmes, en proposant dans un premier temps, un algorithme permettant de "réduire" le couple (p,q), algorithme analogue à celui de Levelt pour les systèmes différentiels linéaires singuliers en 0. Cette "réduction" permet de distinguer les cas réguliers et irréguliers. Dans un deuxième temps, j'expliquerai dans le cas régulier comment calculer après "réduction" les solutions locales formelles en 0 en rendant effectif un théorème de Gérard et Levelt. Je terminerai l'exposé en pointant les difficultés pour calculer les solutions locales formelles dans le cas irrégulier une fois le couple (p,q) réduit et les possibles généralisations à la dimension supérieur a 2.