Exploitation des connaissances sur la géométrie des solutions pour la résolution algébrique : Le cas du calcul du corps de décomposition d'un polynôme.

On s'intéresse ici à un problème central de la théorie de Galois effective : le calcul du corps de décomposition $K_f$ d'un polynôme $f$ à coefficients dans un corps $K$. Si l'on note $a_1,\ldots,a_n$ les racines, supposées distinctes, de ce polynôme, nous avons $K_f=K(a_1,\ldots,a_n)$ et cette extension peut être représentée par l'algèbre quotient $K[x_1,\ldots,,x_n]/M$ où $M$ est l'idéal de tous les polynômes en $n$ variables s'annulant en les $n$ racines de $f$. Nous présenterons des résultats récents sur l'utilisation de la connaissance (partielle ou totale) de l'action du groupe des $K$-automorphismes de $K_f$ sur les $a_i$ afin de calculer efficacement une base de Gröbner de $M$. Ces résultats mènent à de nouvelles questions sur les groupes de permutations que nous présenterons aussi lors de cet exposé.