Approximation polynomiale de fonctions continues et nombres flottants

Lorsqu'on cherche à implémenter un algorithme numérique pour calculer une fonction mathématique f (telle que exp, sin, erf, etc.), on remplace souvent la fonction f par une autre fonction p choisie de telle manière que pour tout x, p(x) constitue une approximation de f(x) jugée suffisamment précise. Pour p, on choisit généralement un polynôme parce qu'on peut s'appuyer sur de nombreux travaux pour l'évaluer de manière performante.

Les coefficients du polynôme doivent être stockés dans la mémoire de l'ordinateur et doivent donc être représentables sous forme de nombres-machine. Nous nous intéressons au problème de la recherche d'un très bon polynôme à coefficients représentables en machine, pour approcher une fonction continue. En utilisant la théorie des réseaux de points (et l'algorithme LLL de A. Lenstra, H. Lenstra et L. Lovász, que nous présenterons au cours de l'exposé) nous proposons un algorithme permettant d'obtenir un tel polynôme. Nous illustrerons les avantages et les défauts de l'algorithme sur un exemple complet.