Utilisation de l'algèbre homologique effective pour factoriser et décomposer les systèmes fonctionnels linéaires

Nous étudions les problèmes de factorisation et décomposition des systèmes fonctionnels linéaires (déterminés, sous-déterminés, sur-déterminés). Après avoir rappelé le concept d'algèbre de Ore d'opérateurs fonctionnels (différentiels ordinaires, aux dérivées partielles, de décalage, ou de retard), nous nous concentrons sur le calcul des morphismes d'un module $M$ finiment présenté, dans un second module $M'$, o\`u $M$ (resp. $M'$) est le module intrinsèquement associé au système fonctionnel linéaire $R\,y=0$ (resp. $R'\,z=0$). Ces morphismes définissent des applications envoyant les solutions du système $R'\,z=0$ sur des solutions de $R\,y=0$. Nous caractérisons explicitement noyau, image, conoyau et co-image d'un morphisme quelconque et montrons que l'existence d'un endomorphisme non-injectif du module $M$ est équivalente à l'existence d'une factorisation non-triviale $R=R_1\,R_2$ de la matrice $R$ du système. Le système correspondant peut alors être intégré en cascade. Nous prouvons aussi (sous certaines conditions) que le système $R\,y=0$ est équivalent à un système $R'\,z=0$, o\`u $R'$ est une matrice triangulaire par blocs de même taille que $R$. Nous montrons ensuite que l'existence de projecteurs dans l'anneau des endomorphismes du module $M$ permet de ramener l'intégration du système $R\,y=0$ à celle de deux systèmes indépendants $R_1\,y_1=0$ et $R_2\,y_2=0$. De plus, nous prouvons que, sous de bonnes conditions, les idempotents permettent de calculer un système équivalent $R'\,z=0$, o\`u $R'$ est une matrice diagonale par blocs de même taille que $R$. Plusieurs applications de ces résultats en physique mathématique et théorie du contrôle sont présentées. Les algorithmes proposés sont implémentés dans un package Maple appelé {\sc morphisms} qui est basé sur la librairie {\sc OreModules}. Ce travail a été effectué en collaboration avec Thomas Cluzeau (CAFÉ, INRIA Sophia Antipolis).