Intégrales multiples de type Ising, groupe de Galois différentiel explicites d'ODE d'ordre supérieur à 10, des systèmes holonomes aux équations différentielles non-linéaires, et ... très au delà.

Nous effectuerons quelques rappels sur les développements en séries hautes (ou basses) températures sur le modèle d'Ising sur réseau carré, et la croissance, a priori exponentielle, de la combinatoire et des calculs des contributions des graphes correspondants. Dans le cas du calcul des séries hautes (ou basses) températures de la susceptibilité magnétique du modèle d'Ising, nous indiquerons que le calcul terme à terme de ces séries peut en fait, remarquablement, être réduit à un calcul à croissance polynomiale (en N^4) en utilisant une double récurrence quadratique sur les fonctions de corrélations. Ceci nous amènera à introduire des intégrales n-uples très particulières, qui sont l'analogue stricte des diagrammes de Feynman et sont, par conséquent, des expressions holonomes, solutions d'équations différentielles ordinaires linéaires Fuchsiennes d'ordre élevé. Le lien avec les équations différentielles non-linéaires dites de Painlevé sera survolé. Les liens avec la croissance polynomiale des calculs d'itérations de transformations birationnelles seront aussi survolés s'il reste du temps. Nous ne parlerons pas du groupe de Galois cosmique.