Des matrices à signe alternant aux variétés orbitales : l'intégrabilité au travail

La preuve par Kuperberg de la conjecture sur le nombre de matrices à signe alternant est devenue un classique de la combinatoire. Elle utilise une relation entre ces matrices et les configurations du modèle physique de la glace sur un réseau carré. Ce modèle est intégrable. Récemment, les mêmes nombres sont apparus dans la solution d'un autre modèle intégrable que j'exposerai, le gaz de boucles denses évitantes. L'identification de ces nombres est l'objet de la conjecture de Razumov et Stroganov (2001). Je montrerai comment prouver une partie de cette conjecture en utilisant l'intégrabilité du modèle. Il est ensuite possible de généraliser et/ou de déformer le modèle tout en conservant son intégrabilité. Ces prolongements font apparaitre d'autres entiers magiques, qui cette fois comptent les degrés de variétés orbitales de groupes de Lie classiques. Je montrerai en particulier comment une déformation du modèle du gaz de boucles denses permet d'interpoler entre les nombres de matrices à signe alternant et les degrés des variétés $V_n=\{ M\in M_n(C), M^2=0, M triang. sup.\}$.