Des matrices � signe alternant aux vari�t�s orbitales : l'int�grabilit� au travail

La preuve par Kuperberg de la conjecture sur le nombre de matrices � signe alternant est devenue un classique de la combinatoire. Elle utilise une relation entre ces matrices et les configurations du mod�le physique de la glace sur un r�seau carr�. Ce mod�le est int�grable. R�cemment, les m�mes nombres sont apparus dans la solution d'un autre mod�le int�grable que j'exposerai, le gaz de boucles denses �vitantes. L'identification de ces nombres est l'objet de la conjecture de Razumov et Stroganov (2001). Je montrerai comment prouver une partie de cette conjecture en utilisant l'int�grabilit� du mod�le. Il est ensuite possible de g�n�raliser et/ou de d�former le mod�le tout en conservant son int�grabilit�. Ces prolongements font apparaitre d'autres entiers magiques, qui cette fois comptent les degr�s de vari�t�s orbitales de groupes de Lie classiques. Je montrerai en particulier comment une d�formation du mod�le du gaz de boucles denses permet d'interpoler entre les nombres de matrices � signe alternant et les degr�s des vari�t�s $V_n=\{ M\in M_n(C), M^2=0, M triang. sup.\}$.