Combinatoire analytique a Ok Corral

On présente une approche par modèle d'urnes au problème de Ok Corral de Williams et McIlroy. Deux groupes de $m$ et $n$ tireurs se font face. A chaque instant, un tireur sélectionné au hasard tue un membre de l'équipe adverse, jusqu'à ce que l'un des deux groupes soit completement éliminé. Le problème a notament été étudié par Kingman, puis Kingman et Volkov l'ont relié à un probleme d'urne.

Notre approche utilise les techniques de Flajolet-Gabarrò-Pekari sur les urnes analytiques. La méthode permet de trouver des expressions exactes des probabilités d'avoir S survivants dans une équipe et de la probabilité de survie de l'équipe $1$. En conséquence, on détermine précisement la transition de phase qui intervient quand le duel est presque équilibré ($ m - n = O(n)$) et on donne un équivalent de la probabilité de survie dans le cas déséquilibre ($m / n = \alpha < 1$). Pour finir, on retrouve les expressions de certains moments de la variable aléatoire donnant le nombre de survivants donnés par Kingman, ce qui nous fournit une partie de ses résultats par une méthode complètement distincte.