Une approche algébrique des urnes de Pólya-Eggenberger équilibrées

On considère une urne de Pólya-Eggenberger équilibrée à nombre arbitraire (fini) de couleurs. La recherche des distributions à un instant donné, fini ou asymptotique, des boules de différentes couleurs amène à décomposer l'opérateur de transition du processus sur des espaces de polynômes en une famille de ``polynômes réduits''. On procède notamment à une étude combinatoire et géométrique des polynômes réduits qui interviennent dans le développement des moments joints relatifs à un système de coordonnées spectrales. Cette approche algébrique permet d'une part d'étudier la convergence du processus en restant dans le cadre discret et en s'affranchissant des hypothèses que le plongement en temps continu impose. D'autre part, dans le cas des ``grands'' processus, elle permet de donner une expression de tous les moments joints de la limite presque sûre du processus renormalisé, en termes de polynômes réduits.