Interactions supérieures dans les mots de Dyck

Un mot de Dyck $w$ de taille $n$ est un mélange de $n$ copies du mot $ab$. Une interaction supérieure dans $w$ est une occurence d'un facteur $b^ka^k$ pour tout $k>0$. Pour obtenir la série génératrice des mots énumérés selon la taille et le nombre d'interactions supérieures on propose trois approches de moins en moins algébriques et de plus en plus combinatoires.

La première approche utilise une variable catalytique, le nombre de $b$ après le dernier $a$, pour écrire une équation fonctionnelle. La résolution de cette équation combine une itération et la méthode du noyau. Elle conduit à un quotient de $q$-séries dans lesquelles apparait un terme algébrique. Dans la seconde approche, une partition adhoc des mots permet d'écrire une équation $q$-algébrique qui peut être résolue par plusieurs linéarisations. Dans la troisième approche, encore inachevée, on essaye de voir le résultat comme le lemme d'inversion pour un modèle d'empilements de segments.